進数講座

最終更新

2022-10-23　初版公開

進数とは

ざっくり言うと「"数"として何種類の文字を使うか」です。
我々の最も使う10進数では、0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 の10種類を扱います。10種類なので10進数。
0 → 1 → … → 8 → 9 まで進んだ後は位・桁が1つ上がって 9 → 10。98 → 99 → 100 となります。

9進数

一旦10進数に近い「9進数」を考えてみましょう。
10進数が 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 の10種類だったので、そこから1つ減らして
9進数は 0 1 2 3 4 5 6 7 8 の9種類となります。

では位・桁上がりはどうなるでしょうか?
最初は 0 → 1 → … → 8 → 10 となります。その後は 18 → 20、78 → 80 と進み、そして 87 → 88 → 100 となります。

ここまでのまとめ

・○進数では○種類の文字を使用する

10進数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9進数 0 1 2 3 4 5 6 7 8

…

2進数 0 1

10進数	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9進数	0 1 2 3 4 5 6 7 8
…
2進数	0 1

・○種類の数字を使いきったら次の位・桁に進む

10進数 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → 10

9進数 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 10

…

2進数 0 → 1 → 10

10進数	0	→ 1	→ 2	→ 3	→ 4	→ 5	→ 6	→ 7	→ 8	→ 9	→ 10
9進数	0	→ 1	→ 2	→ 3	→ 4	→ 5	→ 6	→ 7	→ 8	→ 10
…
2進数	0	→ 1	→ 10

9進数(延長戦)

↑の表を少し追記しつつ再掲します。

10進数 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → 10

9進数 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 10 → 11

…

2進数 0 → 1 → 10 → 11 → 100 → 101 → 110 → 111 → 1000 → 1001 → 1010

これを縦に読むと、我々の一般的な「10進数の"9"」が「9進数では"10"」という文字列で表記されることが分かると思います。
そして今度は斜めに読むと、"10"という同じ1つの文字列がそれぞれの○進数で全く違う数を指していることも分かると思います。
進数の話をするときは、同じ文字列でも何進数かが不明瞭だと全く違う数になってしまうので要注意。

10進数	0	→ 1	→ 2	→ 3	→ 4	→ 5	→ 6	→ 7	→ 8	→ 9	→ 10
9進数	0	→ 1	→ 2	→ 3	→ 4	→ 5	→ 6	→ 7	→ 8	→ 10	→ 11
…
2進数	0	→ 1	→ 10	→ 11	→ 100	→ 101	→ 110	→ 111	→ 1000	→ 1001	→ 1010

11進数

10進数より少ない9進数や2進数については、0 1 2 3 4 5 6 7 8 9のうち使う文字の種類が減っていくだけでした。
次は多い方、11進数について考えてみましょう。

先ほどまでの話通り、11進数では11種類の文字を"数"として使うことになります。
しかし我々の知っている数の文字は 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9、これでは10種類しかありません。
そこで新たに11種類目の文字を追加します。

といっても、世界に存在しない新しい文字を作り出すのは大変です。100進数を考えようとしたら90個も新種の文字を創造しないといけなくなってしまいます。
なのでここでは既存の他の"文字"を流用、つまり11種類目の数としてアルファベットの"A"という文字を採用することにします。
これで 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A の11種類となります。
他の進数と並べるとこうなります。

2進数 0 → 1 → 10 → 11 → 100 → 101 → 110 → 111 → 1000 → 1001 → 1010 → 1011

9進数 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 10 → 11 → 12

10進数 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → 10 → 11

11進数 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → A → 10

2進数	→ 1	→ 10	→ 11	→ 100	→ 101	→ 110	→ 111	→ 1000	→ 1001	→ 1010	→ 1011
9進数	→ 1	→ 2	→ 3	→ 4	→ 5	→ 6	→ 7	→ 8	→ 10	→ 11	→ 12
10進数	→ 1	→ 2	→ 3	→ 4	→ 5	→ 6	→ 7	→ 8	→ 9	→ 10	→ 11
11進数	→ 1	→ 2	→ 3	→ 4	→ 5	→ 6	→ 7	→ 8	→ 9	→ A	→ 10

中略しつつもう少し先まで表にしてみましょう。十の位・2桁目の数が増えるタイミングはこうなります。

9進数 8 → 10 → 11 → 12 → … → 18 → 20 → 21 → 22 → 23 → 24

10進数 8 → 9 → 10 → 11 → … → 17 → 18 → 19 → 20 → 21 → 22

11進数 8 → 9 → A → 10 → … → 16 → 17 → 18 → 19 → 1A → 20

9進数	8	→ 10	→ 11	→ 12	→ …	→ 18	→ 20	→ 21	→ 22	→ 23	→ 24
10進数	8	→ 9	→ 10	→ 11	→ …	→ 17	→ 18	→ 19	→ 20	→ 21	→ 22
11進数	8	→ 9	→ A	→ 10	→ …	→ 16	→ 17	→ 18	→ 19	→ 1A	→ 20

百の位・3桁目の数が登場するタイミングはこう。

9進数 88 → 100 → … → 120 → 121 → … → 143 → 144

10進数 80 → 81 → … → 99 → 100 → … → 120 → 121

11進数 73 → 74 → … → 90 → 91 → … → AA → 100

9進数	88	→ 100	→ …	→ 120	→ 121	→ …	→ 143	→ 144
10進数	80	→ 81	→ …	→ 99	→ 100	→ …	→ 120	→ 121
11進数	73	→ 74	→ …	→ 90	→ 91	→ …	→ AA	→ 100

16進数

11進数と同様、足りない文字はアルファベットから採用します。
合計16種類なので 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F となります。

10進数 9 → 10 → 11 → 12 → 13 → 14 → 15 → 16

11進数 9 → A → 10 → 11 → 12 → 13 → 14 → 15

16進数 9 → A → B → C → D → E → F → 10

10進数	9	→ 10	→ 11	→ 12	→ 13	→ 14	→ 15	→ 16
11進数	9	→ A	→ 10	→ 11	→ 12	→ 13	→ 14	→ 15
16進数	9	→ A	→ B	→ C	→ D	→ E	→ F	→ 10

十の位・2桁目の数が増えるタイミング。

10進数 9 → 10 → 11 → … → 21 → 22 → … → 31 → 32

11進数 9 → A → 10 → … → 1A → 20 → … → 29 → 2A

16進数 9 → A → 10 → … → 15 → 16 → … → 1F → 20

10進数	9	→ 10	→ 11	→ …	→ 21	→ 22	→ …	→ 31	→ 32
11進数	9	→ A	→ 10	→ …	→ 1A	→ 20	→ …	→ 29	→ 2A
16進数	9	→ A	→ 10	→ …	→ 15	→ 16	→ …	→ 1F	→ 20

百の位・3桁目の数が登場するタイミング。

10進数 99 → 100 → … → 120 → 121 → … → 255 → 256

11進数 90 → 91 → … → AA → 100 → … → 212 → 213

16進数 63 → 64 → … → 78 → 79 → … → FF → 100