\(V\)を左図の立方体とし, \(V\)の微小立方体を\(dV\)とする. また, \(dV\)の各面を, \(dS_1,dS_2,\ldots\)とおく.
さらに, \(A=\left(A_1,A_2,A_3\right) \)とし, 各面の上で\(A\)は一定とする.

まず, \(dS_1\)についての積分を考える.
\(dS_1\)の法線ベクトルを\(n_1\)とすると, \(A\cdot n_1\)は\(A\)の法線方向の成分なので \begin{equation} \iint _{dS_1}A\cdot n_1dS_1=-A_2(x,y,z)dxdz\label{ds1} \end{equation} \eqref{ds1}は, \(dS_1\)を通って流出する水の量を表す.

同様に, \(dS_2\)についての積分は, \begin{equation} \iint _{dS_2}A\cdot n_2dS_2=A_2(x,y+dy,z)dxdz\label{ds2} \end{equation} が得られる.

\eqref{ds1}, \eqref{ds2}を足すと \begin{align} \iint _{dS_1}A\cdot n_1dS_1+\iint _{dS_2}A\cdot n_2dS_2&=A_2(x,y+dy,z)dxdz-A_2(x,y,z)dxdz\nonumber \\ &=\frac{A_2(x,y+dy,z)-A_2(x,y,z)}{dy}dxdydz\nonumber \\ &\to \frac{\partial A_2}{\partial y}dV\label{dv1} \end{align} が得られる.

さらに, \(dS_3\),...,\(dS_6\)についての積分を計算して, 足し合わせると \begin{align} \sum _{i=1}^6\iint _{dS_i}A\cdot n_idS_i&\to \left( \frac{\partial A_1}{\partial x}+\frac{\partial A_2}{\partial y}+\frac{\partial A_3}{\partial z}\right) dV\nonumber \\ &=\nabla \cdot AdV\label{dv2} \end{align} \eqref{dv2}は, \(dS_1\),...,\(dS_6\)を通る水の量が, \(dV\)における水の変化量と等しいことを表す.

最後に, \eqref{dv2}を\(V\)のすべての微小立方体について足すことを考える.
\(V\)の内部の面についての積分は, 隣接する面どうしで互いに打ち消し合う. よって, \(V\)の表面についての積分だけが残るので, \begin{equation*} \iiint _V \nabla \cdot AdV=\iint _S A\cdot ndS \end{equation*} が得られる.